기하학이 동작하는 이유 | 그것은 과학인가 예술인가?

기하학은 과학이며 동작한다.

문제없이 운전할 때 자동차가 동작한다고 말할 수 있으며, 이는 자전거나 다른 종류의 차량에도 동일하게 적용된다. 물리학 이론이 어떤 현상을 설명하거나 예측하는 데 도움이 될 때 효과가 있다고 말할 수 있다. 그러나 기하학이 동작한다고 말할 수 있나? 과학인가?

 

우리는 디자인, 건축, 이론 물리학 및 기타 여러 분야의 예술에서와 같이 많은 분야에서 기하학을 사용하고 있다. 즉, 우리는 과학 영역과 예술 영역 모두에서 기하학을 사용하며 모든 영역에서 잘 동작하고 있다. 그러나 어떤 사람들은 예술 작품이 사람을 매료시키는 것처럼 기하학 또한 사람을 매료시키기 때문에 예술이라고 말할 수 있다고 한다. 그러나 기하학은 하나의 기하학적 공간의 법칙이 허용하는 가능성에 대한 연구이며, 예술은 주관적이고 미학적 가치에 의해 지배될 가능성이 높다. 따라서 기하학에 관한 과학과 예술 사이에는 차이점이 분명 있다.

 

 

기하학적 공간의 법칙

"기하학적 공간"의 기본 규칙은 여러 종류의 "기하학적 공간"이 있기 때문에 다를 수 있다. 예를 들어, 3차원 객체를 처리할 수 있는 기하학적 공간이 있지만 다른 기하학적 공간은 해당 유형의 객체를 처리할 수 없다. 가령, 곡선 형태의 기하학에서 "두 점 사이의 최단 거리가 직선이다."는 것은 사실이 아니다. 평평한 기하학적 공간에서는 사실이지만. 즉, 어떤 기하학적 공간이냐에 따라 상대적으로 달라진다는 말이다. 분명 기하학은 과학이지만 아직 완벽하다는 것을 의미하지는 않는다. 지금까지도 어느 것이 기하학적 공간의 법칙이어야 하는지 확신할 수 있는 사람은 아무도 없다. 1889년 힐베르트(Hilbert)가 유클리드 기하학(Euclidean Geometry)에 대한 새로운 공리를 가정함으로써 유클리드 기하학의 기본 법칙에 있는 모순을 수정하는 방법을 찾았지만(그 기초가 더 일관성 있게 될 수 있도록) 괴델(Gödel)은 나중에 그의 이론을 토대로 불완전성 정리(Incompleteness Theorems)를 만들었다. 그는 어떤 공리도 수학의 기초가 될 수 없다는 것을 분명히 했다. 게다가 기하학의 기초를 이루는 또 다른 문제는 연속성과 불연속성 사이의 이분법이다. 즉, 오늘날까지 아무도 점이 정확히 무엇인지 또는 선이 어떻게 다른 선을 가로지를 수 있는지 정확히 알지 못한다. 가장 실용적인 해결책은 두 선에 공통점이 있다고 말하는 것이다. 그러나 선이 연속적인지 불연속적인지 결정하는 데 여전히 도움이 되지 않는다.